Tι είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών; Η καθηγήτρια του Καποδιστριακού Δήμητρα Χριστοπούλου στο thebest.gr

Τι είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών; Ταυτίζεται με τα μαθηματικά, ή μήπως όχι; Aνακαλύπτουμε τα μαθηματικά αντικείμενα ή τα επινοούμε; Από πού πηγάζει η μαθηματική γνώση; Αφορμή για να εξερευνήσουμε αυτό τον «μαγικό» κόσμο στέκεται η κυκλοφορία του τελευταίου βιβλίου της  Δήμητρας Χριστοπούλου , υπό τον τίτλο «Τα διλήμματα του Paul Benacerraf – Μια προβληματική της φιλοσοφίας των μαθηματικών».

Στον τόμο αυτό η επίκουρη καθηγήτρια φιλοσοφίας μαθηματικών στο Τμήμα Μαθηματικών του Εθνικού Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, μέσα από τα κείμενά της, πραγματεύεται την προβληματική των διλημμάτων του P. Benacerraf, τα οποία απασχόλησαν τη φιλοσοφία των μαθηματικών από το 1965 και  ύστερα.  Αφορούν τη μαθηματική γνώση και τη σημασιολογία της μαθηματικής γλώσσας, σε σχέση με την υπόθεση του μαθηματικού ρεαλισμού. Το βιβλίο παρουσιάζει όψεις της σύγχρονης συζήτησης και προτάσεις για την αντιμετώπιση των εν λόγω διλημμάτων, στη βάση κάποιων ισχυρών ή μετριοπαθών εκδοχών του μαθηματικού ρεαλισμού.

Τι είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών

Η Δήμητρα Χριστοπούλου, που είναι γνώριμη και στην πανεπιστημιακή κοινότητα της Πάτρας, καθώς έχει διδάξει στο Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, αλλά και στο Πανεπιστήμιο Πατρών (Πρώην Λέκτορας), μας εξηγεί:

Η φιλοσοφία των μαθηματικών είναι κλάδος της φιλοσοφίας, μπορεί μάλιστα να θεωρηθεί κλάδος της φιλοσοφίας των επιστημών, στο βαθμό που πχ. η φιλοσοφία της φυσικής ή της βιολογίας θεωρείται. Είναι προφανές ότι η φιλοσοφία των μαθηματικών δεν ταυτίζεται με τα ίδια τα μαθηματικά, όπως δεν ταυτίζεται με τη διδακτική των μαθηματικών ή με την ιστορία των μαθηματικών. Πρόκειται επομένως για διακριτό πεδίο φιλοσοφικής έρευνας που περιλαμβάνει κυρίως μια οντολογική και μια γνωσιολογική συνιστώσα. Η φιλοσοφία των Μαθηματικών επιδιώκει αφενός να προσδιορίσει το οντολογικό status των μαθηματικών αντικειμένων, δηλαδή των αριθμών, των μαθηματικών συνόλων, των συναρτήσεων κλπ. και αφετέρου διερευνά την πηγή προέλευσης της μαθηματικής γνώσης. Ένα κεντρικό ερώτημα της φιλοσοφίας των μαθηματικών αναφέρεται στο ποια είναι η φύση των μαθηματικών αντικειμένων, κατά πόσον μπορεί να γίνει δεκτή η ύπαρξή τους και με ποιο τρόπο αυτή πρέπει να κατανοηθεί. Πρόκειται για προκλητικά ενδιαφέρον ερώτημα, δεδομένου ότι τα μαθηματικά αντικείμενα διαφοροποιούνται από τα συνήθη εμπειρικά αντικείμενα του φυσικού μας περιβάλλοντος και τις μη παρατηρήσιμες οντότητες των φυσικών επιστημών. Λόγω του μη χωρο-χρονικού χαρακτήρα των μαθηματικών αντικειμένων, οι περισσότερες απαντήσεις στο ερώτημα σχετικά με τη φύση τους τα εκλαμβάνουν ως αφηρημένα.

Ένα δεύτερο σημαντικό ερώτημα που απασχολεί τη φιλοσοφία των μαθηματικών είναι ο τρόπος με τον οποίο αποκτούμε γνωστική πρόσβαση στα αντικείμενα των μαθηματικών. Μήπως επινοούμε τους αριθμούς, τα σύνολα κλπ; Μήπως αποτελούν νοητικές κατασκευές και γενικότερα δημιουργήματα της ανθρώπινης διάνοιας; Μήπως δεν αποτελούν απλώς επινοήσεις αλλά η ανθρώπινη διάνοια τα ανακαλύπτει; Ποιοι είναι οι τρόποι και οι μέθοδοι μέσω των οποίων τα μαθηματικά επινοούνται ή αντιθέτως, ανακαλύπτονται από τον ανθρώπινο νου;

Πέρα όμως από το οντολογικό και το γνωσιολογικό ερώτημα υπάρχει και ένα τρίτο ερώτημα που συνδέεται στενά με τα προηγούμενα και αυτό είναι το σημασιολογικό. Εδώ η φιλοσοφία των μαθηματικών επικεντρώνεται στο πρόβλημα της αλήθειας των μαθηματικών προτάσεων. Πώς πρέπει να κατανοηθεί η μαθηματική αλήθεια και με ποιο τρόπο αποδίδουμε τιμές αληθείας στις προτάσεις της γλώσσας των μαθηματικών θεωριών; Πώς πρέπει να κατανοηθεί η αλήθεια της πρότασης «Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί»; Στην περίπτωση αυτή, οι φιλόσοφοι ενδιαφέρονται για τις αντικειμενικές συνθήκες υπό τις οποίες θεωρούμε μία μαθηματική πρόταση αληθή. Επίσης, η φιλοσοφία θέτει το πρόβλημα της σχέσης μεταξύ της αλήθειας και της αποδειξιμότητας.

Στη συνέχεια, θα δούμε πιο αναλυτικά τα βασικά προβλήματα που απασχολούν τη σύγχρονη φιλοσοφία των μαθηματικών και την καθιστούν διακριτό ερευνητικό αντικείμενο. Βεβαίως, η θεματική της φιλοσοφίας των μαθηματικών μπορεί να χρησιμοποιηθεί και από τον ενημερωμένο εκπαιδευτικό στην εκπαιδευτική τάξη για να διανθίσει ένα μάθημα μαθηματικών, προκαλώντας το ενδιαφέρον των μαθητών έτσι ώστε να προσεγγίσουν με ουσιαστικότερο τρόπο το αντικείμενο μάθησης.

Το οντολογικό status των μαθηματικών αντικειμένων

Η φύση των μαθηματικών αντικειμένων απασχολεί έντονα τους φιλοσόφους που επικεντρώνουν το ενδιαφέρον τους στην οντολογία από την αρχαιότητα ως σήμερα. Στη σύγχρονη εποχή, οι οντολογικές συζητήσεις σχετικά με το πρόβλημα της ύπαρξης των μαθηματικών αντικειμένων είναι ιδιαίτερα εκτεταμένες στα journals της αναλυτικής φιλοσοφίας και γενικότερα στη διεθνή φιλοσοφική βιβλιογραφία και τα διεθνή Συνέδρια. Μια ενδιαφέρουσα διαμάχη στη φιλοσοφία της επιστήμης είναι πχ. η διαμάχη μεταξύ του επιστημονικού ρεαλισμού που υποστηρίζει ότι οι μη παρατηρήσιμες οντότητες της φυσικής έχουν ανεξάρτητη ύπαρξη και του αντι-ρεαλισμού που αμφισβητεί την πραγματική ύπαρξή τους και αποδέχεται μόνον την εργαλειοκρατική χρησιμότητά τους. Μια ανάλογη φιλοσοφική διαμάχη είναι αυτή μεταξύ του μαθηματικού ρεαλισμού και του αντι-ρεαλισμού σχετικά με το πρόβλημα της ανεξάρτητης ή μη ύπαρξης  των μαθηματικών αντικειμένων. Ο ρεαλισμός παρουσιάζεται ωστόσο σε πολλές εκδοχές ανάλογα με τον τρόπο που κατατάσσει τα μαθηματικά αντικείμενα σε οντολογικές κατηγορίες (πχ. αφηρημένα αντικείμενα, ιδιότητες, είδη κλπ). Υπάρχουν επίσης διάφορες μορφές αντι-ρεαλισμού. Ο φιξιοναλισμός είναι μια μορφή αντι-ρεαλισμού που ερμηνεύει τις μαθηματικές θεωρίες ως χρήσιμους μύθους και αποδίδει το χαρακτήρα του φανταστικού (fictional) στα μαθηματικά αντικείμενα. Σύμφωνα με τον φιξιοναλιστή Field (1980), οι αριθμοί λειτουργούν μέσα στις θεωρίες, όπως οι μυθιστορηματικοί χαρακτήρες στα σενάρια. Οι μαθηματικές θεωρίες είναι χρήσιμες στις εφαρμογές επειδή διευκολύνουν και επιταχύνουν τις διαδικασίες παραγωγής συνεπειών μέσα στις φυσικές θεωρίες, χωρίς όμως να διαθέτουν οι ίδιες κάποιο αληθές περιεχόμενο. Εκτός από τον φιξιοναλισμό, υπάρχουν αντι-ρεαλιστικές προσεγγίσεις που θεωρούν τα μαθηματικά αντικείμενα νοητικές κατασκευές και μελετούν τους νοητικούς μηχανισμούς που οδηγούν στην κατασκευή των μαθηματικών εννοιών.

Η περίπτωση των γεωμετρικών αντικειμένων είναι επίσης αρκετά ενδιαφέρουσα από οντολογική άποψη, δεδομένου ότι ποτέ δεν βρέθηκε πραγματικά στη φύση μια σφαίρα, ένας κύκλος ή μια ευθεία γραμμή. Συναντάμε φυσικά αντικείμενα που μοιάζουν ή πλησιάζουν κατά κάποιο τρόπο την κυκλικότητα ή τη σφαιρικότητα, τα οποία θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε (σύμφωνα με τον Πλάτωνα) ότι «μετέχουν» της κυκλικότητας, της σφαιρικότητας κλπ. Ας σκεφτούμε ακόμα την εφαπτομένη ενός κύκλου που σχεδιάζουμε στον πίνακα. Διδάσκουμε τους μαθητές την γεωμετρική αλήθεια ότι η εφαπτομένη έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο. Αναρωτιόμαστε όμως πόση σχέση έχει αυτό που λέμε με αυτό που συμβαίνει στον πίνακα; Ένα γεωμετρικό σημείο είναι α-διάστατο άρα δεν μπορεί να βρεθεί κάτι τέτοιο στην εμπειρική πραγματικότητα. Η φιλοσοφία επιχειρεί να προσεγγίσει αυτού του είδους τα ζητήματα είτε δια της πλατωνικής οδού δηλ. θεωρώντας ότι τα αντίστοιχα μαθηματικά αντικείμενα (σφαίρα, κύκλος, σημείο, ευθεία, κλπ) είναι πλατωνικού τύπου (ανεξάρτητα από τον ανθρώπινο νου) είτε δια του εμπειρισμού. Οι εμπειριστές πιστεύουν ότι στις παραπάνω περιπτώσεις έχουμε οριακές καταστάσεις ή εξιδανικεύσεις κάποιων εμπειρικών αναλόγων. Με άλλα λόγια, μια γεωμετρική σφαίρα αποτελεί την οριακή κατάσταση ενός φυσικού στερεού σώματος του οποίου η μορφή πλησιάζει προς τη σφαιρική. Γενικότερα ο εμπειρισμός οφείλει να καταστήσει φιλοσοφικά σαφές το τι σημαίνουν οι όροι ‘δυνατότητα προσέγγισης’, ‘εξιδανίκευση’, ‘οριακή περίπτωση’.

Διάφορες φορμαλιστικές προσεγγίσεις (πχ. εκδοχή Thomae) υποστηρίζουν ότι  τα μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι τίποτα περισσότερο από τυπογραφικούς χαρακτήρες ή απτά σημάδια που χρησιμοποιούνται με βάση ένα δεδομένο σύστημα κανόνων. Αυτή η ερμηνεία δεν διακρίνει, για παράδειγμα, οποιαδήποτε διαφορά μεταξύ των αριθμητικών συμβόλων (‘3’) και των αριθμών (3) που ονομάζονται από τις εν λόγω εκφράσεις. Αυτό το γεγονός, με φιλοσοφικούς όρους, σημαίνει ότι ο μαθηματικός φορμαλισμός αυτής της μορφής, αφελώς, δεν διακρίνει τα ονόματα από τα αντικείμενα αναφοράς τους. Η προσέγγιση αυτή ελέγχεται ως αφελής δεδομένου ότι οι εκφράσεις πχ. ‘5+6’, ‘3+8’, ‘11’ αποτελούνται από διαφορετικούς χαρακτήρες και όμως αναφέρονται στον ίδιο αριθμό. Κατά συνέπεια, ένας αριθμός δεν ταυτίζεται με τους αντίστοιχους χαρακτήρες που χρησιμοποιούμε για το συμβολισμό του. Με άλλα λόγια, δύο διαφορετικά ονόματα είναι δυνατό να παρουσιάζουν το ίδιο αντικείμενο. Ο φορμαλισμός αυτού του τύπου παραβλέπει την διάκριση μεταξύ του συντακτικού (γλωσσικού) επιπέδου και του αντίστοιχου σημασιολογικού.

Η οντολογία εντάσσει τα διάφορα αντικείμενα του κόσμου σε διάφορες κατηγορίες οντοτήτων όπως: ατομικά αντικείμενα, ιδιότητες, κλπ. Σύμφωνα με τη φρεγκεανή παράδοση (δηλ. σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Frege αλλά και τη σύγχρονη προσέγγιση του Νεο-φρεγκεανισμού) οι αριθμοί δεν είναι αισθητά πράγματα ούτε αποτελούν νοητικές εικόνες, νοητικές παραστάσεις κλπ. Το ότι δεν είναι προσβάσιμοι αισθητηριακά δεν αποτελεί εμπόδιο για να γίνει αποδεκτό το status τους ως αντικειμένων (αφηρημένων καθεκάστων). Αυτό που χρειάζεται είναι να προσδιοριστεί κατάλληλα η ταυτότητά τους έτσι ώστε κάθε φορά που συναντούμε έναν αριθμό κάτω από ένα διαφορετικό σύμβολο ή έκφραση, να τον αναγνωρίζουμε. Γι αυτό το λόγο, o Frege πρότεινε όλες οι προτάσεις της αριθμητικής να διατυπώνονται ως αριθμητικές ισότητες. Στις αριθμητικές ισότητες οι αριθμοί εμφανίζουν τον χαρακτήρα τους ως αντικείμενα.

Έχουν υποστηριχθεί ωστόσο ερμηνείες των αριθμών που είναι αντίθετες προς την προηγούμενη, πχ. ερμηνείες των αριθμών ως ιδιοτήτων συνόλων ή συλλογών. Το 3, για παράδειγμα, είναι για την Maddy μια ιδιότητα του συνόλου {Παύλος, Ελένη, Γιάννης}.

Δεν θα έπρεπε ωστόσο να παραλειφθεί μια αναφορά σε μια διαφορετική προσέγγιση όπως είναι η στρουκτουραλιστική. Οι στρουκτουραλιστές αναφέρονται σε μαθηματικές δομές, πχ. τη δομή των φυσικών αριθμών, τη δομή των πραγματικών αριθμών, την ευκλείδεια δομή κλπ. Αν θεωρήσουμε τη δομή των πραγματικών αριθμών, ένας πραγματικός αριθμός (όπως ο √2) θα έχει μια συγκεκριμένη θέση σε αυτή τη δομή. Στην προσέγγιση των δομών, ένα μαθηματικό αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί ότι καταλαμβάνει μια θέση ή ότι αποτελεί το ίδιομια θέση. Σε κάθε περίπτωση, αυτό που έχει σημασία για τον στρουκτουραλισμό είναι οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων που απαρτίζουν μια δομή (δομικές σχέσεις).

Το γνωσιολογικό ερώτημα

Ένα δεύτερο, εξίσου σημαντικό με το οντολογικό, πρόβλημα που εξετάζει η φιλοσοφία των μαθηματικών είναι το γνωσιολογικό. Ποια είναι η προέλευση της μαθηματικής γνώσης; Και εδώ έχουν υποστηριχθεί διαφορετικές θέσεις. Όσοι ακολουθούν την καντιανή φιλοσοφική παράδοση υποστηρίζουν ότι οι καντιανές μορφές της καθαρής εποπτείας του χώρου και του χρόνου είναι συνθήκες δυνατότητας-προϋποθέσεις της ανθρώπινης γνώσης γενικότερα. O χώρος και ο χρόνος ήταν για τον Kant τα a priori πλαίσια ή κελύφη της αισθητηριακής εμπειρίας. Οι γεωμετρικές και οι αριθμητικές αλήθειες θεωρήθηκαν συνθετικές a priori γιατί εμπεριέχουν πληροφορία (: συνθετικές) και είναι πρότερες της εμπειρίας (: a priori). Η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών έπληξε ωστόσο την καντιανή αντίληψη περί του χώρου ως ευκλείδειου. Παρ’ όλα αυτά, το a priori συνθετικό status των μαθηματικών προτάσεων υποστηρίζεται σήμερα και από μη καντιανής προέλευσης φιλοσοφικές προσεγγίσεις (βλ. ρασιοναλισμός Bonjour).

Από την άλλη πλευρά, ο εμπειρισμός προσπάθησε να δικαιολογήσει την άποψη ότι η μαθηματική γνώση βασίζεται στην εμπειρία και ιδιαίτερα στην επαγωγική γενίκευση. Οι απόψεις αυτές ωστόσο αποτυγχάνουν να ερμηνεύσουν τη μαθηματική γνώση στο επίπεδο των ανώτερων μαθηματικών θεωριών και περιορίζονται σε ένα πολύ μικρό και στοιχειώδες τμήμα της μαθηματικής δραστηριότητας. Δεν μπορούν να δικαιολογήσουν για παράδειγμα, σημαντικές μαθηματικές προτάσεις όπως πχ. η ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθμών, η αρχή της μαθηματικής επαγωγής στην αριθμητική, η αρχιμήδεια αρχή, η πρόταση σχετικά με την ύπαρξη ελαχίστου άνω φράγματος στην ανάλυση, οι αρχές της συνολοθεωρίας ή της τοπολογίας κλπ. Ο Kitcher (1983) προσπάθησε να παρουσιάσει μια πιο εκλεπτυσμένη μορφή του παραδοσιακού (κυρίως μιλλιανού) εμπειρισμού για να δικαιολογήσει τη βασική θέση ότι η μαθηματική γνώση προέρχεται από την εμπειρία. Για να αποφύγει τις δυσκολίες της εμπειριστικής προσέγγισης, έκανε μια θεμελιώδη υπόθεση περί ιδανικών κατασκευαστών. Αυτοί, σε αντίθεση με τους κοινούς ανθρώπους, δεν υπόκεινται σε περιορισμούς χώρου και χρόνου, μπορούν να χειρίζονται μεγάλες έως και άπειρες συλλογές, να συλλαμβάνουν άπειρα σύνολα και ελάχιστα άνω φράγματα απείρων συνόλων, να εκτελούν αφαιρέσεις και εξιδανικεύσεις. Η υπόθεση περί ιδανικών κατασκευαστών είναι αρκετά εξωπραγματική ώστε να καθιστά ευάλωτη την εμπειριστική ερμηνεία του Kitcher  (η οποία, παρ’ όλα αυτά, αναγνωρίζει και επιχειρεί να διορθώσει τα κενά των παλαιότερων εμπειριστικών προσεγγίσεων).

Ο πλατωνισμός τύπου Goedel υποστηρίζει ότι τα αξιώματα είναι θεμελιώδεις αλήθειες τις οποίες ανακαλύπτουμε. Εξηγεί την προέλευση της μαθηματικής γνώσης δίνοντας στη μαθηματική εποπτεία έναν ιδιαίτερο ρόλο. Θεωρεί ότι τα αξιώματα «επιβάλλονται» στον ανθρώπινο νου αφού η ισχύς τους είναι τέτοια που δεν μπορεί να διαφύγει της προσοχής μας. Η γκεντελιανή εποπτείαμπορεί να περιγραφεί ως μια άμεση νοητική σύλληψη των ιδιοτήτων των μαθηματικών συνόλων και των θεμελιωδών τους σχέσεων. Η υπόθεση αυτή δέχθηκε όμως κριτική από φιλοσόφους όπως ο Benacerraf (1973). Στην κριτική του Benacerraf προσπάθησαν να απαντήσουν διάφοροι υπερασπιστές του μαθηματικού ρεαλισμού με το επιχείρημα ότι η μαθηματική γνώση δεν βασίζεται σε κάποιου είδους αιτιακή σχέση ή άλλη φυσική αλληλεπίδραση και έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά από την εμπειρική γνώση. Μεταξύ των πολλών απαντήσεων που προτάθηκαν σχετικά με το πρόβλημα της γνώσης των μαθηματικών αντικειμένων στο πλαίσιο του σύγχρονου ρεαλισμού, είναι και η απάντηση των Hale και Wright που εκπροσωπούν τον Νεο-Φρεγκεανισμό. Yποστήριξαν ότι η γνωστική μας πρόσβαση σε αφηρημένα αντικείμενα δικαιολογείται στη βάση της γνωστικής οικειότητας που διαθέτουμε για ορισμένες σχέσεις ισοδυναμίας (: ανακλαστικές, συμμετρικές, μεταβατικές διμελείς σχέσεις). Για παράδειγμα, η γνωστική μας πρόσβαση στους φυσικούς αριθμούς εξηγείται με βάση το ότι κατάλληλες 1-1 αντιστοιχίες μεταξύ των πραγματώσεων δεδομένων εννοιών είναι οικείες στον γνωστικό μας εξοπλισμό. Γενικότερα, ισχύει η αρχή «ο αριθμός της έννοιας F = ο αριθμός της έννοιας G αν και μόνο αν οι πραγματώσεις των εννοιών F και G βρίσκονται σε μια 1-1 σχέση μεταξύ τους». Η συγκεκριμένη αρχή οφείλεται στον Frege (που την εισήγαγε στα Grundlagen) ενώ οι εκπρόσωποι του σύγχρονου προγράμματος του Νεο-φρεγκεανισμού προσπάθησαν να επεκτείνουν αυτή την υπόθεση διατυπώνοντας αρχές που απαντούν γενικότερα στο γνωσιολογικό ερώτημα σχετικά με διάφορα είδη αφηρημένων αντικειμένων. Ο Wright το 1983 απέδειξε ότι τα αξιώματα Peano παράγονται από την συγκεκριμένη αρχή στη λογική 2^ηςτάξεως. Έτσι το θέμα της μαθηματικής γνώσης προκάλεσε νέες συζητήσεις για τη σχέση μαθηματικών και λογικής».